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\title{Turbulencia y multifractalidad ochenta a\~nos despu\'es de la teor\'ia de Kolmogorov 1941 \\ Turbulence and multifractality eighty years after the Kolmogorov 1941 theory}
\author{C. Granero-Belinch\'on}
\affil{IMT Atlantique, Lab-STICC UMR CNRS, Technop\^ole Brest Iroise, 29239 Brest, France \\ carlos.granero-belinchon@imt-atlantique.fr}
\begin{document}

\maketitle

\textbf{Comentario del autor:} Carlos Granero Belinch\'on realiz\'o sus estudios de f\'isica en la Universidad Aut\'onoma de Madrid (2010-2014), m\'aster en f\'isica de plasmas en Paris VI (2014-2015) y tesis sobre el estudio estad\'istico de la turbulencia en l'\'Ecole Normale Sup\'erieure de Lyon (2015-2018). Actualmente, C. Granero Belinch\'on es profesor titular en el Institute de Mines et T\'el\'ecommunications - Atlantique (IMT-Atlantique) donde desarrolla investigaci\'on en caracterizaci\'on estad\'istica de sistemas complejos con especial inter\'es en la f\'isica de fluidos y las din\'amicas oce\'anicas.
\\

\textbf{Palabras clave:} Turbulencia; Kolmogorov; Teor\'ia multifractal; Autosimilaridad; F\'isica estad\'istica; Sistemas multiescala.
\\

\textbf{Relevancia:} El art\'iculo quiere dar a conocer desde un punto de vista simple y ameno la teor\'ia de Kolmogorov de 1941, sus principales aportes a la comprensi\'on de la turbulencia y sus principales defectos. Tambi\'en quiere mostrar como dicha teor\'ia fue concebida y m\'as tarde mejorada y generalizada. En \'ultima instancia, el objetivo del art\'iculo es tambi\'en rendir homenaje a A.N. Kolmogorov, ya que sus trabajos en distintas ramas de la f\'isica y las matem\'aticas han permitido grandes avances en estos campos.

\begin{abstract}
\textbf{Espa\~nol:} Hoy, la naturaleza multiescala de la turbulencia es aceptada por la comunidad cient\'ifica. De hecho, la visi\'on que actualmente prevalece de un flujo turbulento es la de un conjunto de torbellinos de distintos tama\~nos que interaccionan entre si. Sin embargo, no fue hasta 1941 que el f\'isico y matem\'atico Andrey N. Kolmogorov present\'o la primera teor\'ia capaz de describir las propiedades estad\'isticas multiescala de la turbulencia. Dicha teor\'ia, conocida como de Kolmogorov 1941, caracteriza la distribuci\'on de energ\'ia de la turbulencia a trav\'es de las escalas. Adem\'as permite recuperar la cascada de energ\'ia, ya predicha por Richardson, que atraviesa las escalas de la turbulencia yendo de las grandes escalas hacia las peque\~nas. La teor\'ia de Kolmogorov de 1941 revolucion\'o la comprensi\'on f\'isica de la turbulencia. Este art\'iculo quiere rendir homenaje a dicha teor\'ia fomentando su divulgaci\'on ochenta a\~nos despu\'es de su aparici\'on.
\\
\\

\textbf{English:} Today, the multiscale nature of turbulence is completely accepted by the scientific community. Indeed, the current description of a turbulent flow is that of a group of eddies of different sizes interacting between them. In 1941, the physicist and mathematician Andrey N. Kolmogorov presented the first theory able to describe the multiscale statistical properties of turbulence. This theory, known as Kolmogorov 1941, characterizes the energy distribution across the scales of turbulence. Moreover, it allows to recover the energy cascade, already predicted by Richardson. The Kolmogorov 1941 theory revolutionized the physical understanding of turbulence. This article wants to pay homage to this theory promoting its spreading eighty years after its first appearance.
\end{abstract}

\section{Introducci\'on a la f\'isica de un fluido turbulento}

La turbulencia es el \'unico fen\'omeno de la f\'isica cl\'asica que permanece sin respuesta. Un fen\'omeno que ha interesado al ser humano desde hace m\'as de 500 a\~nos, quiz\'as por su complejidad, o por su impacto en las din\'amicas oce\'anicas y atmosf\'ericas que determinan el clima, por su influencia en los procesos termodin\'amicos que han permitido el desarrollo tecnol\'ogico de la sociedad industrial, o quiz\'as simplemente por la belleza inherente a un flujo turbulento, ver figura~\ref{fig:ccc}.

Alrededor del a\~no 1500 Leonardo Da Vinci ya se interesaba, al menos desde un punto de vista est\'etico, por el problema de la turbulencia. En la figura~\ref{fig:davinci} podemos observar un boceto de Da Vinci en el que representa la din\'amica turbulenta de un fluido como una superposici\'on de torbellinos de distintos tama\~nos. Junto a dicho boceto, Da Vinci escribi\'o \textit{Observad el movimiento de la superficie del agua, que se parece al del cabello, que contiene dos movimientos, uno de los cuales est\'a causado por el peso del cabello, y el otro por la direcci\'on de los rizos; as\'i el agua tiene movimientos de remolino, uno de los cuales es debido a la corriente principal y el otro al movimiento aleatorio e inverso.} Y tambi\'en: \textit{los peque\~nos remolinos son casi innumerables, y los cuerpos de gran tama\~no son movidos solo por los remolinos grandes y no por los peque\~nos, mientras que los objetos peque\~nos son movidos tanto por los peque\~nos remolinos como por los grandes.} Da Vinci indicaba ya hace 500 a\~nos la naturaleza multiescala de la turbulencia.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.35\linewidth]{ccc.jpeg}
\caption{\textit{Cruzando el lago Poyang}. Pintura del siglo XVIII proveniente de la regi\'on de Canton en China. Derechos: Hong Kong Maritime Museum}
\label{fig:ccc}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{da_vinci.jpg}
\caption{Dibujo de un fluido entrando en una piscina realizado por Leonardo da Vinci (XV-XVI).}
\label{fig:davinci}
\end{figure}

Habr\'ia que esperar doscientos cincuenta a\~nos para que, gracias a los trabajos pioneros de Euler y m\'as adelante de Navier y Stokes, tuviesemos una descripci\'on matem\'atica de la din\'amica de un flujo turbulento.
%
Gracias a ellos, hoy sabemos que la din\'amica de un fluido de viscosidad $\nu$ y densidad $\rho$ esta gobernada por las ecuaciones de conservaci\'on del momento o ecuaciones de Navier-Stokes (N-S). En el caso de un fluido homogeneo ($\rho \equiv \text{cte}$), la conservaci\'on de la masa implica $\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{v}=0 $ y las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben:

\begin{equation}\label{eq:NSeq}
\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{\nabla})\mathbf{v}=-\frac{\mathbf{\nabla}p}{\rho}+\nu\nabla^2\mathbf{v}
\end{equation}

\noindent donde $p$ es la presi\'on y $\mathbf{v}$ el campo de velocidades.

Las ecuaciones de Navier-Stokes muestran la competici\'on entre las diferentes fuerzas que actuan en el fluido:

\begin{itemize}
 \item $\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{\nabla})\mathbf{v}$ son los t\'erminos inerciales. El primero indica la variaci\'on temporal de la velocidad, mientras que el segundo, que es no lineal describe la advecci\'on.
 \item $-\frac{\mathbf{\nabla}p}{\rho}$ es la fuerza interna.
 \item $\nu\nabla^2\mathbf{v}$ es el t\'ermino de difusi\'on debido a la viscosidad del fluido.
\end{itemize}

La competici\'on entre el t\'ermino no lineal advectivo y el t\'ermino lineal difusivo define el n\'umero de Reynolds $R_e$, que mediante an\'alisis dimensional, puede expresarse como~\cite{Frisch1995}:

\begin{equation}
R_e \approx \frac{\sigma L}{\nu} 
\end{equation}

\noindent donde $\sigma$ es la velocidad caracter\'istica del fluido a la escala caracter\'istica $L$ del flujo.
%
Cuanto mayor es el n\'umero de Reynolds, mayor es la importancia del t\'ermino advectivo en N-S y m\'as turbulenta es la din\'amica del fluido. 
En r\'egimen turbulento, la fuerte no linearidad de N-S hace muy complicado trabajar anal\'iticamente con estas ecuaciones. Desde la f\'isica, dos aproximaciones al problema han permitido comprender mejor la turbulencia, la aproximaci\'on fenomenol\'ogica y la estad\'istica.

En 1921, Richardson present\'o una visi\'on de la turbulencia que todav\'ia prevalece, seg\'un la cual la turbulencia se describe como una jerarqu\'ia de torbellinos de diferentes tama\~nos, con una cascada de energ\'ia de los grandes torbellinos hacia los peque\~nos~\cite{Richardson1921}, ver figura~\ref{fig:Rich}. Esta descripci\'on implica que la energ\'ia es inyectada en el sistema a trav\'es de las grandes escalas, mientras que es en las peque\~nas escalas donde la energ\'ia es disipada. Por lo tanto, la descripci\'on de Richardson de la turbulencia implica que esta es un fen\'omeno multiescala, ver figura~\ref{fig:PSD}.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Richardson}
\caption{Descripci\'on de Richardson de la turbulencia~\cite{Frisch1995}.}
\label{fig:Rich}
\end{figure}

Sin embargo, la primera teor\'ia estad\'istica capaz de caracterizar y describir la turbulencia como un fen\'omeno multiescala llegar\'ia a mediados del siglo XX con los trabajos revolucionarios de Andrey Nikolaevich Kolmogorov (25 de abril de 1903, Tambov, Imperio Ruso, 20 de Octubre de 1987, Mosc\'u, Uni\'on Sovi\'etica). Inspirado por la visi\'on de la turbulencia de Richardson, A.N. Kolmogorov construy\'o la teor\'ia de la turbulencia conocida como ``Kolmogorov 1941'', o de forma abreviada como K41. 

\section{La teor\'ia de Kolmogorov}\label{K41}

Kolmogorov comenz\'o por diferenciar tres dominios diferentes de escalas en la turbulencia: 

\begin{itemize}
\item \textbf{La regi\'on integral:} contiene las grandes escalas, iguales o mayores que la escala integral $L$, a traves de las cuales la energ\'ia es inyectada al sistema. 
\item \textbf{La regi\'on inercial:} contiene las escalas menores que $L$ pero mayores que la escala de disipaci\'on $\eta_{K}$. En el dominio inercial la energ\'ia fluye de las grandes hacia las peque\~nas escalas.
\item \textbf{La regi\'on disipativa:} contiene las escalas menores que $\eta_{K}$ en las cuales la energ\'ia es disipada.
\end{itemize}

La regi\'on inercial se caracteriza por una din\'amica dominada por el t\'ermino advectivo sobre el difusivo en las ecuaciones de Navier-Stokes, mientras que en el dominio disipativo el t\'ermino difusivo domina.

\medskip

Para poder desarrollar su teor\'ia, Kolmogorov hizo dos hip\'otesis~\cite{Kolmogorov1991}, que pueden ser resumidas como: si el n\'umero de Reynolds va al infinito, las peque\~nas escalas (escalas menores que la escala integral $L$) de la turbulencia son estad\'isticamente is\'otropas e independientes de las grandes escalas~\cite{Frisch1995}. 

\medskip

Usando ambas hip\'otesis de similaridad y an\'alisis fenomenol\'ogico, Kolmogorov caracteriz\'o estad\'isticamente el comportamiento de los incrementos de velocidad en la regi\'on inercial de un fluido turbulento~\cite{Frisch1995}:

\begin{equation}\label{eq:incrs}
 \delta_{l}v(x)=v_{x}(x+l)-v_{x}(x)\approx \epsilon^{1/3} l^{1/3}
\end{equation}

La ecuaci\'on~\ref{eq:incrs} conduce a comportamientos espec\'ificos de scaling de los momentos estad\'isticos de los incrementos de velocidad~\cite{Kolmogorov1991}:

\begin{equation}\label{eq:moments}
 S_{p}(l) \equiv \left\langle (\delta_{l}v)^p \right\rangle =C_{p}(l\left\langle \epsilon \right\rangle)^{p/3}
\end{equation}

\noindent donde $S_{p}(l)$ son las funciones de estructura, $p$ es el orden de la funci\'on de estructura y $C_{p}$ son constantes de universalidad que solo dependen de la funci\'on de estructura.

A partir del comportamiento de scaling de la funci\'on de estructura de orden dos, $S_2(l)=C_2 \left\langle \epsilon^{2/3} \right\rangle l^{2/3}$, se obtiene la distribuci\'on espectral de energ\'ia de un flujo turbulento (ver figura~\ref{fig:PSD}):

\begin{equation}\label{eq:spectrum}
 E \left( \frac{1}{l} \right)= \propto \epsilon^{2/3} \left( \frac{1}{l} \right)^{-5/3}
\end{equation}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figSpectrum}
\caption{Densidad espectral de energ\'ia de la turbulencia (azul). La linea negra ilustra la conocida como ley de $5/3$, ver eq.(\ref{eq:spectrum}).}
\label{fig:PSD}
\end{figure}

\medskip

Las relaciones arriba escritas (ecuaciones \ref{eq:incrs}, \ref{eq:moments} y \ref{eq:spectrum}) son v\'alidas para cualquier escala $l$ en la regi\'on inercial, en la cual no hay ni inyecci\'on directa de energ\'ia ni disipaci\'on directa de energ\'ia, sino un flujo de energ\'ia $\Pi$ de la escala integral $L$ a la escala disipativa $\eta_{K}$. En consecuencia con la ecuaci\'on \ref{eq:incrs}, el flujo de energ\'ia $\Pi$ debe ser independiente de la escala e igual al ratio medio de disipaci\'on de energ\'ia:

\begin{equation}\label{eq:epsilon}
\Pi \approx \frac{\left\langle (\delta_{l}v(x))^{3} \right\rangle}{l} \approx \left\langle \epsilon \right\rangle 
\end{equation}


\subsection*{La ley de cuatro quintos}

Kolmogorov deriv\'o directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes la, \textit{a priori} definici\'on fenomenol\'ogica, del ratio medio de disipaci\'on de energ\'ia hecha en la ecuaci\'on~\ref{eq:epsilon}. De este modo, Kolmogorov obtuvo una relaci\'on \textit{exacta} para la funci\'on de estructura de tercer orden $S_{3}(l)$, que debe ser respetada por cualquier modelo de turbulencia~\cite{Kolmogorov1991}:
%
\textit{En el l\'imite de n\'umero de Reynolds infinito, la funci\'on de estructura de tercer orden de la turbulencia homogenea e is\'otropa, evaluada en incrementos $l$ peque\~nos comparados con la escala integral, es dada en t\'erminos del ratio medio de disipaci\'on de energ\'ia por}

\begin{equation}\label{eq:4/5}
 S_{3}(l)=-\frac{4}{5} \left\langle \epsilon \right\rangle l 
\end{equation}
 
La ley de cuatro quintos muestra la existencia de una cascada de energ\'ia en la turbulencia que va de las grandes escalas hacia las peque\~nas.

%%%
\medskip 

\subsection*{La correcci\'on de Kolmogorov-Oboukhov de 1962}\label{sec:KO62}

La teor\'ia de Kolmogorov de 1941 asume que \textit{como $\left\langle \epsilon \right\rangle$ es casi constante en las regiones que son peque\~nas en comparaci\'on con la escala integral $L$, cuando $l\ll L$ se puede suponer que 
$\left\langle \epsilon_{l} \right\rangle=\left\langle \epsilon \right\rangle$}. Esta hip\'otesis fue rapidamente contestada por Landau, ya que no tiene en cuenta que con el incremento del ratio $L/l$ la variaci\'on $\sigma^2_{\epsilon}$ de la disipaci\'on de energ\'ia $\epsilon$ definida en la teor\'ia K41 aumentar\'ia sin l\'imite~\cite{Landau1987,Kolmogorov1962,Frisch1995}.  

M\'as tarde llegar\'ia el apoyo experimental a las cr\'iticas de la teor\'ia K41, con observaciones que indicaban la inhomogeneidad del ratio de disipaci\'on~\cite{Oboukhov1962}. En los setenta, experimentos que analizaban la deformaci\'on de las funciones de densidad de probabilidad (pdfs) de los incrementos de velocidad a trav\'es de las escalas~\cite{Tennekes1972} (ver figura~\ref{fig:PDF}) y m\'as adelante los scalings de las funciones de estructura de orden mayor que $3$~\cite{F.Anselmet1984} corroboraron la inexactitud de la teor\'ia K41.

Ya algunos a\~nos antes, Kolmogorov y Oboukhov hab\'ian corregido la teor\'ia K41 definiendo una disipaci\'on de energ\'ia local $\epsilon_{l}$ en lugar de una global $\epsilon$~\cite{Kolmogorov1962, Oboukhov1962}. Concretamente, definieron $\epsilon_{l}$ siguiendo una distribucion con estad\'isticas log-normales y demostraron que en este caso:

\begin{equation}\label{chap6:eq:incrsKO62}
 \delta_{l}v(x)=v_{x}(x+l)-v_{x}(x)\approx (\epsilon_{l}l)^{1/3}
\end{equation}

\begin{equation}\label{chap6:eq:momentsKO62}
 S_{p}(l)=\left\langle (\delta_{l}v)^p \right\rangle =C_{p}(l\left\langle \epsilon_{l} \right\rangle)^{p/3}
\end{equation}

La consideraci\'on de ratios de disipaci\'on no constantes conduce a scalings no lineales de los incrementos, y por lo tanto scalings no lineales de las funciones de estructura. Esta no linealidad conlleva una deformaci\'on de la pdf de los incrementos de velocidad en funci\'on de la escala. La pdf, cercana a una Gaussiana a escalas mayores o iguales a la escala integral $L$, desarrolla colas mas largas y una asimetr\'ia cuando la escala decrece~\cite{Tennekes1972}. A este fen\'omeno se le llama intermitencia.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{fig_PDF}
\caption{Deformaci\'on de la pdf de los incrementos de velocidad a traves de las escalas, de Gaussiana a gran escala a fuertemente no Gaussiana a peque\~na escala. Para resaltar las diferencias entre las pdfs, tanto el eje $x$ como el eje $y$ est\'an en escala logar\'itmica.}
\label{fig:PDF}
\end{figure}

\section{El enfoque multifractal de la teor\'ia de Kolmogorov}\label{sec:multapproach}

Frisch y Parisi generalizaron la teor\'ia de la turbulencia de Kolmogorov usando un enfoque multifractal~\cite{Frisch1995}. Para ello, simplemente reformularon el comportamiento de scaling de los incrementos y las funciones de estructura a traves de las escalas:

\begin{equation}\label{eq:incrsmulti}
 \delta_{l}v(x) \approx l^{\mathfrak{h}}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:momentsmulti}
 S_{p}(l) \approx l^{\zeta(p)}
\end{equation}

\noindent donde $\mathfrak{h}$ es el exponente de H\"older e indica el orden de las singularidades que caracterizan la velocidad turbulenta, y $\zeta(p)$ define los exponentes de scaling de la velocidad de un flujo turbulento. $D(\mathfrak{h})$ es el espectro de singularidades e indica la probabilidad de encontrar el exponente de H{\"o}lder $\mathfrak{h}$~\cite{Frisch1995}. 
%
Cualquier modelo se caracterizar\'a por lo tanto por el conjunto de sus exponentes de scaling $\zeta(p)$, ver figura~\ref{fig:synth:1} a), y su espectro de singularidades, ver figura~\ref{fig:synth:1} b), los cuales est\'an relacionados por la transformada de Legendre~\cite{Frisch1995} y por lo tanto aportan dos visiones de un mismo fen\'omeno.
%
Por \'ultimo, la ley de cuatro quintos de Kolmogorov impone $\zeta(3)=1$.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{zetaDh}
\caption{a) Exponentes de scaling $\zeta(p)$ en funci\'on de $p$ y b) espectro de singularidades $D(\mathfrak{h})$ en funci\'on del exponente de H{\"o}lder $\mathfrak{h}$, ambos para tres modelos diferentes de la turbulencia en la regi\'on inercial, junto con una medida experimental de velocidad turbulenta (Modane, s\'imbolos negros). Los modelos son: movimiento Browniano fraccionario monofractal (cyan, linea continua), modelo multifractal log-normal (azul, linea discontinua) y modelo multifractal log-Poisson (rojo, linea punteada).}
\label{fig:synth:1}
\end{figure}

Un comportamiento lineal de los exponentes de scaling en funci\'on de $p$ caracteriza un proceso monofractal. En este caso, a la pendiente de la recta $c=\mathfrak{h}$ se le llama exponente de Hurst, y se escribe $\mathcal{H}$, es decir, el orden de las singularidades del proceso es unico e igual a $\mathcal{H}$. Por otro lado, un comportamiento no lineal de los exponentes de scaling, \textit{i.e.} la existencia de singularidades de distintos ordenes (multiples valores posibles de $\mathfrak{h}$), revela la existencia de multifractalidad (intermitencia en t\'erminos de f\'isica de fluidos), ver figura~\ref{fig:synth:1}. Intuitivamente podemos relacionar la univocidad del orden de las singularidades $\mathfrak{h}=\mathcal{H}=cte$ con la existencia de un ratio de disipaci\'on medio $\left\langle \epsilon \right\rangle$ y la existencia de singularidades de distinto orden $D(\mathfrak{h})$ con la existencia de un ratio de disipaci\'on local $\epsilon_l$.

La teor\'ia de Kolmogorov de 1941 enuncia $\mathfrak{h} \equiv \mathcal{H} = 1/3$, lo que situa al comportamiento multiescala de la turbulencia en un r\'egimen monofractal. Esta consideraci\'on implica que: 1) $D(\mathfrak{h})=\delta(\mathfrak{h}-1/3)$ es una funci\'on univaluada, ver figura~\ref{fig:synth:1} b). 2) Los exponentes de scaling son lineales en funci\'on de $p$, $\zeta(p)= p\mathcal{H} =\frac{p}{3}$, ver figura~\ref{fig:synth:1} a). 3) Las propiedades estad\'isticas de los incrementos permanecen inalteradas a traves de las escalas (autosimilaridad).

La figura~\ref{fig:synth:1} a) muestra que, cuando $p$ aumenta, los exponentes de scaling de una medida experimental de velocidad turbulenta se desv\'ian del comportamiento lineal predicho por el modelo monofractal. Por lo tanto, el modelo K41 de la turbulencia no es satisfactorio a gran $p$. Es necesario introducir correcciones ligadas a la intermitencia que dan un status multifractal a la turbulencia. Existen diferentes modelos multifractales, cada uno de los cuales describe la intermitencia de manera ligeramente distinta. Entro los modelos m\'as famosos encontramos el modelo log-normal y el modelo log-Poisson.


\section{Conclusi\'on}

En 1941 Kolmogorov sent\'o las bases de una teor\'ia estad\'istica de la turbulencia capaz de describir la naturaleza multiescala de la misma. Esta teor\'ia tiene en cuenta la existencia de tres dominios de escalas regidos por fen\'omenos f\'isicos diferenciados, es capaz de caracterizar la distribuci\'on de energ\'ia a traves de las escalas de la turbulencia as\'i como de predecir la existencia de una cascada de energ\'ia que se dirige de las grandes escalas hacia las peque\~nas. Veinte a\~nos m\'as tarde, \'el y Oboukhov mejoraron la teor\'ia de 1941 para tener en cuenta la naturaleza intermitente de la disipaci\'on de energ\'ia. Todos estas propiedades de la turbulencia descritas por la teor\'ia K41 y m\'as tarde por la teor\'ia KO62 han sido comprobadas experimentalmente. 

Hicieron falta 44 a\~nos para que Frisch y Parisi generalizaran la descripci\'on de la turbulencia hecha por Kolmogorov, y desarrollaran el formalismo multifractal, que permite describir tanto la teor\'ia de Kolmogorov 1941 como la teor\'ia de Kolmogorov-Oboukhov de 1962. Este formalismo es tambi\'en capaz de caracterizar teor\'ias f\'isicas modernas como el modelo $\beta$ o el modelo She-Leveque de la turbulencia~\cite{Frisch1995}. M\'as all\'a, el formalismo multifractal es un marco gen\'erico basado en la caracterizaci\'on del orden de las singularidades del proceso estudiado y por lo tanto es aplicable al estudio de todo tipo de se\~nales experimentales.  
%
Una objecci\'on posible al formalismo es que se aleja de la f\'isica del fen\'omeno estudiado. Sin embargo, este formalismo provee un marco ideal para la caracterizaci\'on estad\'istica de medidas experimentales de procesos y sistemas multiescala, como es el caso de la turbulencia.

\bibliographystyle{unsrt}
\bibliography{THEBIBLIO}

\end{document}
