\documentclass[aps,pre,preprint,longbibliography]{revtex4-2} %\documentclass[aps,pre,reprint,longbibliography]{revtex4-2} %\documentclass[aps,pre,reprint,longbibliography]{revtex4-1} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{natbib} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage{epsfig} \usepackage{bm} \usepackage{color} \usepackage{graphicx}% Include figure files \usepackage{hyperref} \usepackage{enumerate} %\usepackage{mathpazo} %\usepackage{showkeys} \newcommand{\edit}[1]{{\color{red} #1}} \newcommand\beq{\begin{equation}} \newcommand\eeq{\end{equation}} \newcommand\beqa{\begin{eqnarray}} \newcommand\eeqa{\end{eqnarray}} \newcommand{\nn}{\nonumber\\} \def\bal#1\eal{\begin{align}#1\end{align}} \newcommand{\dd}{\text{d}} \newcommand{\ccdot}{\times} %\bibliographystyle{apsrev4-2} \begin{document} \title{La ley de Newcomb--Benford: ¿Usan los f\'isicos m\'as la tecla del $1$ que la del $9$?\\ The Newcomb--Benford law: Do physicists use more frequently the key $1$ than the key $9$?} \author{Andrea Burgos} \email{anburgosr@alumnos.unex.es} \author{Andr\'es Santos} \email{andres@unex.es} \affiliation{Departamento de F\'{\i}sica, Universidad de Extremadura, 06006 Badajoz, Spain} \date{\today} \begin{abstract} La ley de Newcomb--Benford, tambi\'en conocida como ley del primer d\'igito, proporciona la distribuci\'on de probabilidad asociada al primer d\'igito de un conjunto de datos, de modo que el primer d\'igito significativo tiene una probabilidad del $30.1$\% de ser $1$ y del $4.6$\% de ser $9$. Esta ley puede extenderse al segundo y siguientes d\'igitos significativos. En este art\'iculo se presenta una introducci\'on al descubrimiento de la ley, su deducci\'on a partir de la propiedad de invariancia bajo cambio de escala, as\'i como algunas aplicaciones y ejemplos. Tambi\'en se propone un modelo din\'amico simple que simula lo que ocurre si un conjunto inicial de datos se multiplica sucesivamente por un factor $2$, prob\'andose que la distribuci\'on del primer d\'igito de los conjuntos generados converge irreversiblemente a la ley de Newcomb--Benford. \centerline{\textbf{Abstract}} The Newcomb--Benford law, also known as the first-digit law, gives the probability distribution associated with the first digit of a dataset, so that the first significant digit has a probability of $30.1$\% of being $1$ and $4.58$\% of being $9$. This law can be extended to the second and next significant digits. In this article, an introduction to the discovery of the law, its derivation from the scale invariance property, as well as some applications and examples, are presented. Additionally, a simple dynamic model simulating how an initial dataset changes if sequentially multiplied by a factor $2$ is proposed. Within this model, it is proved that the first-digit distribution of the generated datasets irreversibly converges to the Newcomb--Benford law. \end{abstract} \maketitle \section{Introducci\'on} \label{sec1} Finales del siglo XIX. Un astr\'onomo y matem\'atico visita la biblioteca de su instituci\'on y consulta una tabla de logaritmos para realizar ciertos c\'alculos astron\'omicos. Como en ocasiones anteriores, le llama la atenci\'on el hecho de que las primeras p\'aginas (las que corresponden a n\'umeros que comienzan por $1$) est\'an mucho m\'as gastadas que las \'ultimas (correspondientes a n\'umeros que comienzan por $9$). Intrigado, esta vez decide no dejar pasar el asunto por alto. Cierra los ojos para concentrarse, esboza unos cuantos c\'alculos sobre un papel y finalmente sonr\'ie. Ha encontrado la respuesta y es enormemente simple y elegante. Algo m\'as de medio siglo despu\'es, un f\'isico e ingeniero el\'ectrico que ignora el descubrimiento de su predecesor, observa el mismo curioso fen\'omeno en las p\'aginas de las tablas de logaritmos y llega a id\'entica conclusi\'on. Ambos han comprendido que, en una larga lista de registros $\{r_n\}$ obtenidos de la naturaleza, la fracci\'on $p_d$ de registros que comienzan por el d\'igito significativo $d=1,2,\ldots,9$ no es $p_d=1/9$, como ingenuamente podr\'ia esperarse, sino que sigue una ley logar\'itmica. M\'as concretamente, \beq p_d=\log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right),\quad d=1,2,\ldots, 9. \label{1} \eeq Los valores num\'ericos de $p_d$ se muestran en la segunda columna de la Tabla \ref{table_LNB}. Vemos que los registros que comienzan por $1$, $2$ o $3$ acaparan en torno al $60$\% del total, mientras que los dem\'as $6$ d\'igitos deben conformarse con el $40$\% restante. \begin{table} \caption{Probabilidades para el primero, segundo, tercero y cuarto d\'igito significativo.} \label{table_LNB} \begin{ruledtabular} \begin{tabular}{ c c c cc} D\'igito & Primero&Segundo&Tercero & Cuarto\\ $d$&$p_d$&$p_d^{(2)}$&$p_d^{(3)}$&$p_d^{(4)}$\\ \hline $ 0$& ---&$ 0.11968$&$ 0.10178$&$ 0.10018$\\ $1$&$ 0.30103$&$ 0.11389$&$ 0.10138$&$ 0.10014$\\ $2$&$ 0.17609$&$ 0.10882$&$ 0.10097$&$ 0.10010$\\ $3$&$ 0.12494$&$ 0.10433$&$ 0.10057$&$ 0.10006$\\ $4$&$ 0.09691$&$ 0.10031$&$ 0.10018$&$ 0.10002$\\ $5$&$ 0.07918$&$ 0.09668$&$ 0.09979$&$ 0.09998$\\ $6$&$ 0.06695$&$ 0.09337$&$ 0.09940$&$ 0.09994$\\ $7$&$ 0.05799$&$ 0.09035$&$ 0.09902$&$ 0.09990$\\ $ 8$&$ 0.05115$&$ 0.08757$&$ 0.09864$&$ 0.09986$\\ $9$&$ 0.04576$&$ 0.08490$&$ 0.09827$&$ 0.09982$\\ \end{tabular} \end{ruledtabular} \end{table} \begin{figure} %\includegraphics[width=5cm]{2048px-Simon_Newcomb_01.eps} \includegraphics[width=5cm]{1024px-Simon_Newcomb_01.eps} \caption{\label{fig1} Simon Newcomb (1835--1909).} \end{figure} \begin{figure} \includegraphics[width=5cm]{F_Benford.eps} \caption{\label{fig2} Frank Benford (1883--1948).} \end{figure} Nuestro personaje del siglo XIX se llama Simon Newcomb (Fig.\ \ref{fig1}) y public\'o su hallazgo en un modesta nota de dos p\'aginas \cite{N81}. El segundo personaje es Frank Benford (Fig.\ \ref{fig2}) y escribi\'o un art\'iculo de $22$ p\'aginas \cite{B38} en el que, adem\'as de justificar matem\'aticamente la Ec.\ \eqref{1}, mostr\'o su validez en el an\'alisis de m\'as de 20.000 primeros d\'igitos tomados de fuentes tan variadas como \'areas de r\'ios, poblaciones de ciudades americanas, constantes f\'isicas, pesos at\'omicos y moleculares, calores espec\'ificos, n\'umeros extra\'idos de peri\'odicos o del Reader's Digest, direcciones postales, \ldots, o las series $n^{-1}$, $\sqrt{n}$, $n^2$ o $n!$, entre otras, con $n=1$--$100$. Con tan apabullante evidencia, no es de extra\~nar que la Ec.\ \eqref{1} se conozca como \emph{ley de Benford} (o ley del primer d\'igito), a pesar de que fue encontrada casi sesenta a\~nos antes por Newcomb. Esta no es sino una manifestaci\'on m\'as de la llamada ley de Stigler, seg\'un la cual ning\'un descubrimiento cient\'ifico recibe el nombre de quien lo descubri\'o en primer lugar. De hecho, como el propio Stigler se\~nala \cite{S80}, la ley que lleva su nombre fue en realidad enunciada de forma parecida veintitr\'es a\~nos antes por el soci\'ologo estadounidense Robert K. Merton. A fin de no caer totalmente en la ley de Stigler, muchos autores se refieren a la Ec.\ \eqref{1} como \emph{ley de Newcomb--Benford} y ese es el criterio (mediante las siglas LNB) que seguiremos en este art\'iculo. \section{Deducci\'on de la ley} \label{sec2} Con frecuencia, cuando por primera vez le hablamos a un amigo, un familiar o incluso un colega acerca de la LNB, su primera reacci\'on suele ser de escepticismo. ¿Por qu\'e el primer d\'igito no se encuentra distribuido uniformemente entre los $9$ valores posibles? Un argumento sencillo muestra que, de existir una ley de distribuci\'on robusta, esta no puede ser la distribuci\'on uniforme. Imaginemos una larga lista de longitudes de r\'ios, alturas de monta\~nas y superficies de pa\'ises, por ejemplo. Es posible que las longitudes de los r\'ios est\'en en km, la altura de las monta\~nas en m y las superficies de pa\'ises en $\text{km}^2$, pero podr\'ian tambi\'en estar en millas, pies o acres, respectivamente. ¿Depender\'a la distribuci\'on $p_d$ de si utilizamos unas unidades u otras o incluso de si las mezclamos? Parece l\'ogico que no, es decir, que la distribuci\'on $p_d$ sea (estad\'isticamente) independiente de las unidades elegidas, o en otras palabras, que sea \emph{invariante bajo cambio de escala}. La distribuci\'on uniforme $p_d=\frac{1}{9}$ obviamente no verifica esa propiedad de invariancia. Supongamos que partimos de una lista en la que todos los valores del primer d\'igito est\'an igualmente representados. Si multiplicamos todos los registros de la lista por $2$ \cite{P02}, podemos ver que aquellos registros que empezaban antes por $1$, luego empiezan por $2$ o por $3$, mientras que todos los que empezaban por $5$, $6$, $7$, $8$ o $9$ empezar\'an ahora por $1$. El siguiente esquema muestra todas las posibilidades: \begin{subequations} \label{2plus} \beq \label{2} 1\to\left\{ \begin{array}{l} 2\\ 3 \end{array} \right.,\quad 2\to\left\{ \begin{array}{l} 4\\ 5 \end{array} \right.,\quad 3\to\left\{ \begin{array}{l} 6\\ 7 \end{array} \right.,\quad 4\to\left\{ \begin{array}{l} 8\\ 9 \end{array} \right., \eeq \beq \left. \begin{array}{r} 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9 \end{array} \right\}\to 1. \eeq \end{subequations} Por consiguiente, si $p_d=\frac{1}{9}$ inicialmente, entonces $p_1=\frac{5}{9}$ y $p_2+p_3=p_4+p_5=p_5+p_7=p_8+p_9=\frac{1}{9}$ tras multiplicar por $2$ todos los registros, destruy\'endose as\'i la uniformidad inicial. Podemos continuar multiplicando por $2$ y la distribuci\'on continuar\'a evolucionando hasta alcanzarse una distribuci\'on estacionaria e invariante bajo ese cambio de escala. As\'i pues, el sello m\'as identificativo de la LNB es que debe ser de aplicaci\'on a registros que tienen unidades o, como escribe Newcomb \cite{N81} ``As natural numbers occur in nature, they are to be considered as the ratios of quantities.'' Hagamos entonces un esbozo de deducci\'on de la ley imponiendo la invariancia bajo cambio de escala \cite{Weiss,P61}. Consideremos de nuevo una larga lista de registros $\{r_n\}$ que, sin p\'erdida de generalidad para el asunto que nos ocupa, supondremos positivos. Cada registro se puede escribir en la forma $r_n=x_n\ccdot 10^{k_n}$, donde $k_n$ es un entero y $x_n\in[1,10)$ es el \emph{significando}. L\'ogicamente, es la distribuci\'on del significando la que es relevante para la LNB. El significando $x_n$ est\'a directamente relacionado con la \emph{mantisa} $\mu_n$ del logaritmo decimal de $r_n$, es decir, $\log_{10}r_n=k_n+\mu_n$, siendo $\mu_n=\log_{10}x_n\in [0,1)$. Sea $P_x(x)\dd x$ la probabilidad de que el significando est\'e comprendido entre $x$ y $x+\dd x$, de modo que la condici\'on de normalizaci\'on es $\int_1^{10} \dd x\,P_x(x)=1$. La probabilidad de que el primer d\'igito significativo del registro $r$ sea $d$ viene entonces dada por la integral \beq \label{3} p_d=\int_d^{d+1}\dd x\, P_x(x). \eeq Si la distribuci\'on $P_x(x)$ es invariante bajo un cambio de escala, eso quiere decir que $P_x(\lambda x)=f(\lambda)P_x(x)$ con $\lambda$ arbitrario. Teniendo en cuenta la condici\'on de normalizaci\'on en la forma $\int_\lambda^{10\lambda} \dd (\lambda x)\,P_x(\lambda x)=1$, se llega a que necesariamente $f(\lambda)=\lambda^{-1}$, es decir, $P_x(\lambda x)=\lambda^{-1}P_x(x)$. Derivando ambos miembros de la ecuaci\'on respecto a $\lambda$ y tomando a continuaci\'on $\lambda=1$, se obtiene f\'acilmente $xP_x'(x)=-P_x(x)$, lo que, de acuerdo con el teorema de Euler, implica que $P_x(x)$ es una funci\'on homog\'enea de grado $-1$, esto es, $P_x(x)\propto x^{-1}$. La constante de proporcionalidad se obtiene a partir de la condici\'on de normalizaci\'on, obteni\'endose finalmente \beq P_x(x)=\frac{x^{-1}}{\ln 10},\quad 0\leq x<10. \label{4} \eeq Esta es la \emph{\'unica} distribuci\'on de significandos que es invariante bajo un cambio de escala. A partir de la Ec.\ \eqref{4}, y aplicando la Ec.\ \eqref{3} es inmediato obtener la LNB \eqref{1}. Es interesante ver que la ley inversa para el significando implica una ley uniforme para la mantisa (y viceversa). Sea $P_\mu(\mu)\dd\mu$ la probabilidad de que la mantisa est\'e comprendida entre $\mu$ y $\mu+\dd\mu$. Como $P_\mu(\mu)\dd\mu=P_x(x)\dd x$ y $\dd\mu =(x^{-1}/\ln 10)\dd x$, la Ec.\ \eqref{4} nos da $P_\mu(\mu)=1$. En palabras de Newcomb \cite{N81}, ``The law of probability of the occurrence of numbers is such that all mantiss{\ae} of their logarithms are equally probable.'' Una consecuencia inmediata es que si $\mu$ es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre $0$ y $1$, entonces la variable aleatoria $x=10^\mu$ verifica la LNB. Este es un modo sencillo de generar una lista de registros aleatorios que cumplen la LNB. Hay series deterministas que tambi\'en satisfacen la LNB. Supongamos la serie $\{r_n=a|\alpha|^n+b|\beta|^n, n=1,2,\ldots\}$ con $a\neq 0$, $|\alpha|>|\beta|$ y $\log_{10}|\alpha|=\text{irracional}$ \cite{BH11}. En ese caso, $\lim_{n\to\infty}\log_{10} r_n=n\log_{10}|\alpha|+\log_{10}|a|$ tiene una mantisa uniformemente distribuida, por lo que $\{r_n\}$ cumple la LNB. Eso incluye, por ejemplo, las series $\{2^n\}$, $\{3^n\}$ y $\{F_n\}$, donde $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^n- (-\varphi^{-1})^n\right]$ son los n\'umeros de Finonacci, siendo $\varphi=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)$ la raz\'on \'aurea. An\'alogamente, la serie $\{n!\}$ satisface tambi\'en la ley \cite{BH11}. Otra propiedad importante es que si una lista $\{r_n\}$ cumple la LNB, tambi\'en lo hace la lista $\{r_n^a\}$. En efecto, si $\log_{10}r_n=k_n+\mu_n$, estando la mantisa $\mu_n$ uniformemente distribuida, entonces la mantisa de $\log_{10} r_n^a=a(k_n+\mu_n)$ tambi\'en est\'a uniformemente distribuida. Esto est\'a directamente relacionado con el hecho de que la LNB no es solo invariante bajo cambio de escala, sino tambi\'en bajo \emph{cambio de base}, como cabr\'ia esperar, dado el car\'acter artificial de la base decimal. Para verlo, supongamos una base $b$ y construyamos la lista $\{r_n^a\}$, con $a=\log_{10} b$, a partir de una lista $\{r_n\}$ que cumple la LNB. En ese caso, $r_n^a=y_n\ccdot b^{k_n}$, siendo $y_n=x_n^a\in [1,b)$ el significando de $r_n^a$ en la base $b$. La distribuci\'on de probabilidad $P_y(y)$ est\'a relacionada con la distribuci\'on $P_x(x)$ a trav\'es de la ecuaci\'on $P_y(y)\dd y=P_x(x)\dd x$, de modo que la Ec.\ \eqref{4} conduce a \beq P_y(y)=\frac{y^{-1}}{\ln b},\quad 0\leq y1$. Los registros cuyos $m$ primeros d\'igitos coincidan con la cadena $(d_1,d_2,\ldots, d_m)$ ser\'an aquellos cuyo significando $x$ sea mayor o igual que $d_1+d_2\ccdot 10^{-1}+\cdots+d_m\ccdot 10^{-(m-1)}$ y menor que $d_1+d_2\ccdot 10^{-1}+\cdots+(d_m+1)\ccdot 10^{-(m-1)}$. En consecuencia, integrando $P_x(x)$ entre esos dos l\'imites, podemos obtener \begin{equation} \label{X2} p_{d_1,d_2,\ldots, d_m}=\log_{10}\left[1+\left(\sum_{i=1}^m d_i\ccdot 10^{m-i}\right)^{-1}\right]. \end{equation} Como test de consistencia, es f\'acil comprobar que \bal \label{X3} p_{d_1,d_2,\ldots, d_{m-1}}=&\sum_{d_m=0}^9 p_{d_1,d_2,\ldots, d_m}\nn =&\log_{10}\left[1+\left(\sum_{i=1}^{m-1} d_i\ccdot 10^{m-1-i}\right)^{-1}\right]. \eal Por ejemplo, la probabilidad de que los tres primeros d\'igitos de un registro formen precisamente la cadena $(3,1,4)$ es $p_{3, 1, 4}= \log_{10} \left(1+ {1}/{314} \right)=0.00138$. Una vez que tenemos $p_{d_1,d_2,\ldots, d_m}$, podemos calcular la probabilidad $p_d^{(m)}$ de que el $m$-simo d\'igito sea $d$, independientemente de los valores de los $m-1$ d\'igitos anteriores, sumando para todos los valores posibles de esos $m-1$ d\'igitos anteriores: \begin{equation} \label{X7} p_d^{(m)}=\sum_{d_1=1}^9\sum_{d_2=0}^9\cdots \sum_{d_{m-1}=0}^9 p_{d_1,d_2,\ldots, d_{m-1},d}. \end{equation} En la Tabla \ref{table_LNB}, la ley del primer d\'igito, $p_d$, est\'a acompa\~nada de las leyes para el segundo, tercero y cuarto d\'igitos, obtenidas a partir de las Ecs.\ \eqref{X2} y \eqref{X7}. A medida que el d\'igito es m\'as interno, la probabilidad se hace menos dispar. En la Ec.\ \eqref{2} vimos que, al multiplicar por $2$ una lista $\{r_n\}$, parte de los registros que empezaban por $d=1,2,3,4$, concretamente los que empiezan por $(d,0)$, $(d,1)$, $(d,2)$, $(d,3)$ o $(d,4)$, empezar\'an por $2d$, mientras que los restantes empezar\'an por $2d+1$. Llamemos $\alpha_d$ a la fracci\'on de registros que, empezando por $d=1,2,3,4$, empiezan por $2d$ al duplicar todos los registros. Por tanto, \beq \alpha_d=\frac{\sum_{d_2=0}^4 p_{d,d_2}}{p_d},\quad d=1,2,3,4. \label{7} \eeq Si la lista verifica la LNB, entonces se obtiene \begin{subequations} \label{eq3.20-23} \begin{eqnarray} \alpha_{1}&=&\frac{\log_{10} \frac{3}{2}}{\log_{10} 2}=0.58496, \label{eq3.20} \\ \alpha_{2}&=&\dfrac{\log_{10}\frac{5}{4}}{\log_{10} \frac{3}{2}}=0.55034, \label{eq3.21}\\ \alpha_{3}&=& \frac{\log_{10}\frac{7}{6}}{\log_{10}\frac{4}{3}}=0.53584,\label{eq3.22}\\ \alpha_{4}&=&\frac{\log_{10}\frac{9}{8}}{\log_{10}\frac{5}{4}}=0.52784. \label{eq3.23} \end{eqnarray} \end{subequations} \section{Aplicaciones y ejemplos} \label{sec3} Las aplicaciones y verificaciones de la LNB son numerosas y abarcan temas tan variados y prosaicos como el estudio del genoma \cite{HRJB02}, la vida media de los n\'ucleos inestables \cite{NR08}, f\'isica de part\'iculas \cite{DD18}, astronom\'ia \cite{AL14}, fen\'omenos cr\'iticos cu\'anticos \cite{BMRBSS18}, emisiones t\'oxicas \cite{MH06}, auditor\'ias fiscales \cite{N12}, fraudes electorales \cite{CG07,GA18} o cient\'ificos \cite{D07}, producto interior bruto \cite{AEKD19}, mercado burs\'atil \cite{H98,PTTV01}, datos de inflaci\'on \cite{MZDT19}, world wide web \cite{DMO06}, actividades religiosas \cite{M14,A14}, fechas de nacimiento \cite{AHI15}, caudales de r\'ios \cite{ACL17}, o incluso la COVID-19 \cite{LHJ20}. Otros ejemplos pueden verse en el enlace \cite{testingBL}. En esta secci\'on presentaremos algunos ejemplos adicionales. Comencemos con una de las situaciones que el propio Benford estudi\'o en su cl\'asico art\'iculo \cite{B38}: el de las poblaciones de ciudades. Utilizando los datos del Instituto Nacional de Estad\'istica (INE) \cite{INE}, hemos considerado la poblaci\'on (en 2019) de los $165$ municipios de la provincia de Badajoz (m\'as la poblaci\'on total de la provincia de Badajoz), de los $223$ municipios de la provincia de C\'aceres (m\'as la poblaci\'on total de la provincia de C\'aceres) y el total de los $388$ municipios de la comunidad de Extremadura (m\'as las poblaciones totales de las provincias de Badajoz y C\'aceres). Tambi\'en hemos considerado la poblaci\'on (seg\'un el padr\'on de 2016) de los $8.110$ municipios espa\~noles, as\'i como los $8,184$ datos del censo electoral de espa\~noles residentes en Espa\~na (CER, agosto de 2020) correspondientes al n\'umero de electores por municipio de inscripci\'on (m\'as el total de los electores de cada comunidad y el total nacional). Con todas estas listas de registros hemos analizado la frecuencia de aquellos que empiezan por $d=1,2,\ldots 9$ y los resultados se comparan en la Fig.\ \ref{fig:muni}. Se observa un buen acuerdo general entre los datos de poblaciones (especialmentge en el caso del CER) y las predicciones de la LNB. Esto es interesante, ya que no es obvio que la distribuci\'on de los significandos del n\'umero de habitantes de municipios deba ser invariante bajo cambio de escala. \begin{figure} \includegraphics[width=8cm]{poblacion.eps} \caption{\label{fig:muni} Comparaci\'on con la LNB de la distribuci\'on del primer d\'igito en las poblaciones de los municipios de las provincias de Badajoz y C\'aceres, de la comunidad de Extremadura y de Espa\~na, as\'i como del censo electoral de espa\~noles residentes en Espa\~na (CER).} \end{figure} Pasemos ahora a dos ejemplos relacionados con la astronom\'ia. En el primero de ellos, tomamos la distancia a la Tierra (en a\~nos-luz y en p\'arsec) de las $300$ estrellas m\'as brillantes \cite{Hipparcos}. En el segundo caso, los datos considerados corresponden al n\'umero diario de manchas solares desde $1818$ hasta la actualidad \cite{sunspot}. Como se observa en la Fig.\ \ref{fig:astro}, las distancias entre nuestro planeta y las estrellas sigue generalmente bien la LNB, a pesar de que la lista no es excesivamente extensa (solo $300$ datos) y de que hay desviaciones ``locales'' (por ejemplo, $p_6p_3$ y $p_9>p_8>p_6>p_7$; en los precios de la red de hipermercados, $p_8>p_9>p_7>p_6$. En principio, podr\'ia pensarse que, puesto que pueden expresarse en euros, d\'olares, rublos, yenes, \ldots, los precios debieran satisfacer la propiedad de invariancia bajo cambio de escala inherente a la LNB. Sin embargo, a esa invariancia hay que superponer las estrategias comerciales y artificiales de asignaci\'on de precios, lo que genera desviaciones relevantes respecto de la LNB. \begin{figure} \includegraphics[width=8cm]{precios.eps} \caption{\label{fig:precios} Comparaci\'on con la LNB de la distribuci\'on del primer d\'igito en los precios de art\'iculos de una cadena de marca de moda y de una red de hipermercados.} \end{figure} \section{La distribuci\'on de Newcomb--Benford como atractor bajo cambio de escala. Un sencillo modelo din\'amico} \label{sec4} Como ya se ha dicho, la LNB \eqref{1} es invariante bajo cambio de escala, es decir, si partimos de un conjunto de registros $\{r_n\}$ que cumpla la LNB y multiplicamos todos los registros por una constante $\lambda$, el conjunto de registros $\{\lambda r_n\}$ resultante sigue cumpliendo la LNB. Lo interesante es que, adem\'as, la LNB es un atractor de ese proceso, es decir, si partimos de un conjunto $\{r_n\}$ que \emph{no} cumple la NBL y generamos nuevos conjuntos multiplicando sucesivamente por $\lambda$ (que no sea una potencia fraccionaria de $10$), los conjuntos generados convergen hacia la LNB. En esta secci\'on analizaremos esta propiedad mediante un sencillo modelo que permite ser analizado de forma anal\'itica Supongamos que en un ``tiempo'' $t$ tenemos una lista de registros $\{r_n(t)\}$ y denotaremos por $p_d(t)$ la fracci\'on de esos registros que tienen $d\in \{1,2,\ldots,9\}$ como primer d\'igito significativo. Generaremos entonces una nueva lista en el tiempo $t+1$ multiplicando por el factor $2$, es decir, $\{r_{n}(t+1)\}=\{2r_n(t)\}$, siendo $p_d(t+1)$ la correspondiente distribuci\'on de frecuencias de primer d\'igito. De acuerdo con las Ecs.\ \eqref{2plus}, \begin{subequations} \label{3.1-3.8} \begin{equation} \label{3.1} p_{1}(t+1)=p_{5}(t)+p_{6}(t)+p_{7}(t)+p_{8}(t)+p_{9}(t), \end{equation} \begin{equation} \label{3.2} p_{2}(t+1)=\alpha_{1} p_{1}(t),\quad p_{3}(t+1)=(1-\alpha_{1}) p_{1} (t), \end{equation} \begin{equation} \label{3.4} p_{4}(t+1)= \alpha_{2} p_2(t),\quad p_{5}(t+1)=(1-\alpha_{2}) p_{2}(t), \end{equation} \begin{equation} \label{3.6} p_{6}(t+1)=\alpha_{3} p_{3}(t),\quad p_{7}(t+1)= (1-\alpha_{3}) p_{3}(t), \end{equation} \begin{equation} \label{3.8} p_{8}(t+1)= \alpha_{4} p_{4}(t), \quad p_{9}(t+1)=(1-\alpha_{4})p_{4}(t), \end{equation} \end{subequations} donde las fracciones $\alpha_d$ ($d=1,2,3,4$) est\'an definidas por la Ec.\ \eqref{7}. N\'otese que las Ecs.\ \eqref{3.1-3.8} verifican la condici\'on de normalizaci\'on $\sum _{d=1} ^{9}p_{d} (t+1)= \sum _{d=1} ^{9} p_{d} (t)=1 $. Por tanto, solo $8$ de las probabilidades $\{p_d, d=1,2,\ldots,9\}$ son linealmente independientes, as\'i es que podemos eliminar una de ellas. Si elegimos $p_{9}=1- \sum _{d=1} ^{8} p_{d}$, la Ec.\ \eqref{3.1} nos da $p_{1}(t+1)=1- p_{1}(t)-p_{2}(t)-p_{3}(t)-p_{4}(t)$. As\'i pues, las Ecs.\ \eqref{3.1-3.8} pueden escribirse en forma matricial como \begin{equation} \label{3.11} {\bm{p}}_a(t+1)= \bm{q}+ \mathsf{A} \cdot {\bm{p}}_a(t),\quad {\bm{p}}_b(t+1)= \mathsf{B} \cdot {\bm{p}}_a(t), \end{equation} donde ${\bm{p}}_a(t) = \left( p_{1}(t),p_{2}(t),p_{3}(t),p_{4}(t)\right)^{\dagger} $, ${\bm{p}}_b(t) = \left( p_{5}(t),p_{6}(t),p_{7}(t),p_{8}(t)\right)^{\dagger} $ y $\bm{q}=(1,0,0,0)^{\dagger}$ son vectores columna, mientras que $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B}$ son las matrices \begin{subequations} \begin{equation} \label{3.12} \mathsf{A}= \begin{pmatrix} -1 &-1&-1&-1\\ \alpha_{1}&0&0&0\\ 1-\alpha_{1} &0&0&0\\ 0 &\alpha_2&0&0 \end{pmatrix}, \end{equation} \begin{equation} \label{3.12B} \mathsf{B}= \begin{pmatrix} 0 &1-\alpha_2&0&0\\ 0&0&\alpha_{3}&0\\ 0&0&1-\alpha_{3} &0\\ 0 &0&0&\alpha_4 \end{pmatrix}, \end{equation} \end{subequations} Ambas matrices son singulares, es decir, no invertibles. Ello implica el car\'acter \emph{irreversible} de la transici\'on $\{p_d(t)\}\to \{p_d(t+1)\}$. En general, los par\'ametros $\alpha_d$ ($d=1,2,3,4$) (y, en consecuencia, las matrices $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B}$) depender\'an de las distribuciones del primer d\'igito y de los dos primeros d\'igitos de la lista $\{r_n(t)\}$, por lo que ser\'an funciones del tiempo. Sin embargo, aqu\'i consideraremos un modelo simplificado en el que los cuatro par\'ametros $\alpha_d$ son constantes fijas. En ese caso, la soluci\'on al problema de valor inicial asociado a la Ec.\ \eqref{3.11} es \begin{subequations} \label{3.14B} \begin{eqnarray} \label{3.14} {\bm{p}_a}(t)&=& \sum _{n=0} ^{t-1} \mathsf{A}^{n} \cdot \bm{q}+ \mathsf{A}^{t} \cdot {\bm{p}_a}(0)\nonumber \\ &=& (\mathsf{I}-\mathsf{A}^t)\cdot \bm{p}_a^{*}+ \mathsf{A}^{t} \cdot {\bm{p}_a}(0), \end{eqnarray} \beq \bm{p}_b(t)=\mathsf{B}\cdot(\mathsf{I}-\mathsf{A}^{t-1})\cdot \bm{p}_a^{*}+ \mathsf{B}\cdot\mathsf{A}^{t-1} \cdot {\bm{p}_a}(0), \eeq \end{subequations} donde $\mathsf{I}$ es la matriz identidad y \begin{subequations} \label{3.13B} \beq \label{3.13} \bm{p}_a^{*}=\left(\mathsf{I}-\mathsf{A} \right)^{-1} \cdot \bm{q} =\frac{1}{3+\alpha_1\alpha_2} \begin{pmatrix} 1\\ \alpha_1\\ 1-\alpha_1\\ \alpha_1\alpha_2 \end{pmatrix}, \eeq \beq \bm{p}_b^{*}=\mathsf{B} \cdot \bm{p}_a^{*} =\frac{1}{3+\alpha_1\alpha_2} \begin{pmatrix} \alpha_1(1-\alpha_2)\\ (1-\alpha_1)\alpha_3\\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_3)\\ \alpha_1\alpha_2\alpha_4 \end{pmatrix} \eeq \end{subequations} es la soluci\'on estacionaria. Dicha soluci\'on ser\'a un \emph{atractor} si $\lim_{t \rightarrow \infty} \bm{p}_a (t) =\bm{p}_a ^{*}$ y $\lim_{t \rightarrow \infty} \bm{p}_b (t) =\bm{p}_b ^{*}$ para cualquier condici\'on inicial $\bm{p}_a (0)$, es decir, si $\lim_{t \rightarrow \infty} \mathsf{A}^{t}=0$. N\'otese que los valores iniciales $\bm{p}_b (0)$ no influyen en la evoluci\'on de $\bm{p}_b (t)$. Para comprobar la condici\'on de atractor anterior, obtengamos los autovalores $\{a_i,i=0,1,2,3\}$ de $\mathsf{A}$. Es f\'acil ver que la ecuaci\'on caracter\'istica es $a(\alpha_1\alpha_2+a+a^2+a^3)=0$. Por consiguiente, los autovalores son $a_0=0$ y \begin{subequations} \label{17ab} \beq a_1=-\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{\beta}-\beta\right), \eeq \beq a_{2,3}=-\frac{1}{3}\left(1-\frac{1\pm\imath\sqrt{3}}{\beta}+\frac{1\mp\imath\sqrt{3}}{2}\beta\right), \eeq \end{subequations} donde \beq \beta\equiv \left[\frac{3}{2}\left(\frac{7}{3}-9\alpha_1\alpha_2+\sqrt{9-42\alpha_1\alpha_2+81\alpha_1^2\alpha_2^2}\right)\right]^{1/3}. \eeq As\'i pues, \beq \mathsf{A}^t=\mathsf{U}\cdot \mathsf{D}^t\cdot\mathsf{U}^{-1},\quad t=1,2,\ldots, \eeq donde \beq \mathsf{U}=\begin{pmatrix} 0&\frac{a_1^2}{\alpha_1\alpha_2}&\frac{a_2^2}{\alpha_1\alpha_2}&\frac{a_3^2}{\alpha_1\alpha_2}\\ 0&\frac{a_1}{\alpha_2}&\frac{a_2}{\alpha_2}&\frac{a_3}{\alpha_2}\\ -1&\frac{(1-\alpha_1)a_1}{\alpha_1\alpha_2}&\frac{(1-\alpha_1)a_2}{\alpha_1\alpha_2}&\frac{(1-\alpha_1)a_3}{\alpha_1\alpha_2}\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix}, \eeq \beq \mathsf{D}^t= \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&a_1^t&0&0\\ 0&0&a_2^t&0\\ 0&0&0&a_3^t \end{pmatrix} ,\quad t=1,2,\ldots. \eeq A partir de las Ecs.\ \eqref{17ab} puede comprobarse que $|a_1|<|a_{2,3}|<1$ para $0<\alpha_1\alpha_2<1$, por lo que $\lim_{t\to\infty}\mathsf{D}^t=0$. Esto prueba el car\'acter atractor de la distribuci\'on estacionaria $\{\bm{p}_a^*,\bm{p}_b^*\}$. Si escogemos $\alpha_d=\frac{1}{2}$ (es decir, suponemos que los segundos d\'igitos $0$--$4$ son igualmente probables que $5$--$9$), las Ecs.\ \eqref{3.13B} proporcionan la soluci\'on estacionaria $p_1^*=\frac{4}{13}\simeq 0.308$, $p_2=p_3=\frac{2}{13}\simeq 0.154$, $p_4=p_5=p_6=p_7=\frac{1}{13}\simeq 0.077$, $p_8=p_9=\frac{1}{26}\simeq 0.038$. Estos valores no son excesivamente distintos a los de la LNB \eqref{1}, como se puede ver a partir de la Tabla \ref{table_LNB}. Si, por otra parte, escogemos los valores dados por las Ecs.\ \eqref{eq3.20-23}, la soluci\'on estacionaria coincide exactamente con la LNB, como por otra parte era de esperar. Esta ser\'a la elecci\'on que adoptemos en el resto de esta secci\'on. \begin{figure} \includegraphics[width=8cm]{Uni.eps} \caption{\label{fig:uni} Evoluci\'on de $p_d(t)$ (panel superior) y de $p_d(t)/p_d^*$ (panel inferior), partiendo de la distribuci\'on inicial uniforme $p_d(0)=\frac{1}{9}$.} \end{figure} \begin{figure} \includegraphics[width=8cm]{Inve.eps} \caption{\label{fig:inve} Evoluci\'on de $p_d(t)$ (panel superior) y de $p_d(t)/p_d^*$ (panel inferior), partiendo de la distribuci\'on inicial invertida $p_d(0)=p_{10-d}^*$.} \end{figure} Al objeto de ilustrar la evoluci\'on irreversible de $p_d(t)$ hacia $p_d^*$ vamos a considerar dos condiciones iniciales diferentes. En primer lugar, partimos de una distribuci\'on uniforme, es decir, $p_d(0)=\frac{1}{9}$. El resultado se muestra en la Fig.\ \ref{fig:uni}, en donde vemos que la evoluci\'on es oscilatoria, como corresponde al hecho de que tanto el autovalor real ($a_1$) como la parte real de los autovalores complejos ($a_{2,3}$) son negativos. Como segundo ejemplo, tomamos una distribuci\'on inicial invertida, esto es, $p_d(0)=p_{10-d}^*$, de modo que el d\'igito $9$ es el m\'as frecuente y el $1$ el menos frecuente. En este caso, como se aprecia en la Fig.\ \ref{fig:inve}, las oscilaciones iniciales son de mayor amplitud pero, al igual que antes, se alcanza pr\'acticamente la distribuci\'on estacionaria tras unas cuantas iteraciones. \begin{figure} \includegraphics[width=8cm]{SKL.eps} \caption{\label{fig:KL} Evoluci\'on de la divergencia de Kullback--Leibler $\mathcal{D}_{\text{KL}} (t)$ (en escala logar\'itmica), partiendo de la distribuci\'on inicial uniforme $p_d(0)=\frac{1}{9}$ y de la distribuci\'on inicial invertida $p_d(0)=p_{10-d}^*$. La l\'inea discontinua es proporcional a $|a_{2,3}|^{2t}$.} \end{figure} Resulta conveniente caracterizar la evoluci\'on del conjunto de probabilidades $\lbrace p_{d} (t) \rbrace$ hacia el atractor $\lbrace p _{d} ^{*} \rbrace $ mediante un \'unico par\'ametro que, adem\'as, evolucione de forma mon\'otona y represente as\'i el car\'acter irreversible de la evoluci\'on. Es de esperar que esas propiedades las verifique la divergencia de Kullback--Leibler \cite{KL51}, que en nuestro caso se define como \begin{equation} \label{3.15} \mathcal{D}_{\text{KL}} (t) = \sum _{d=1} ^{9} p_{d} (t) \ln \frac{p_{d} (t)}{p_{d} ^{*}}. \end{equation} Esta magnitud representa la entrop\'ia relativa de $p_d(t)$ respecto a $p_d^*$. La Fig.\ \ref{fig:KL} muestra la evoluci\'on de $\mathcal{D}_{\text{KL}}(t)$ para las mismas condiciones iniciales que en las Figs.\ \ref{fig:uni} y \ref{fig:inve}. En ambos casos se confirma la evoluci\'on mon\'otona de $\mathcal{D}_{\text{KL}}(t)$. Adem\'as, el decaimiento asint\'otico a $0$ se produce de forma esencialmente exponencial con una tasa independiente del estado inicial. Para ver en m\'as detalle ese decaimiento, consideremos tiempos suficientemente largos como para que las desviaciones $\delta p_d(t)\equiv p_d(t)-p_d^*$ puedan considerarse peque\~nas. En ese r\'egimen, podemos desarrollar en serie de potencias la Ec.\ \eqref{3.15} y retener el t\'ermino doiminante. El resultado es \begin{equation} \label{3.15B} \mathcal{D}_{\text{KL}} (t) \approx \frac{1}{2}\sum _{d=1} ^{9} \frac{\left[\delta p_{d} (t)\right]^2}{p_{d} ^{*}}. \end{equation} Por otra parte, para tiempos suficientemente grandes, $|a_1|^t\ll |a_{2,3}|^t$ (n\'otese que $|a_1|=0.4261$ y $|a_{2,3}|=0.8692$), por lo que, de acuerdo con las Ecs.\ \eqref{3.14B}, $\delta p_d(t)\sim |a_{2,3}|^t$. As\'i pues, $\mathcal{D}_{\text{KL}} (t)\sim |a_{2,3}|^{2t}=10^{2t\log_{10}|a_{2,3}|}$. Este comportamiento asint\'otico se encuentra tambi\'en representado en la Fig.\ \ref{fig:KL}. Podemos decir entonces que la LNB juega un papel an\'alogo al estado de equilibrio en termodin\'amica y la multiplicaci\'on por un factor es similar a la evoluci\'on irreversible al equilibrio partiendo de un estado inicial fuera del equilibrio. En esta analog\'ia, la ``entrop\'ia'' del sistema fuera del equilibrio ser\'ia $S=-\mathcal{D}_{\text{KL}}+\text{const}$, de modo que $S$ aumenta de modo irreversible en la evoluci\'on hacia el equilibrio. \section{Comentarios finales} \label{sec5} Esperamos que este art\'iculo haya contribuido a mostrar que, en contra de lo que en un primer momento pudiera pensarse, el primer d\'igito significativo de un conjunto de datos extra\'idos de la naturaleza o del mundo real no est\'a distribuido de manera uniforme entre los nueve posibles valores ($d=1,2,\ldots, 9$), sino que t\'ipicamente la frecuencia es mayor para $d=1$ y va disminuyendo a medida que aumenta $d$. La LNB \eqref{1} da una expresi\'on matem\'atica a ese hecho emp\'irico, aunque no siempre tiene por qu\'e verificarse de modo riguroso. S\'i es de esperar que, salvo las inevitables fluctuaciones estad\'isticas, la ley se cumpla en conjuntos de datos acompa\~nados de unidades (como sucede generalmente en f\'isica), de modo que la distribuci\'on del primer d\'igito sea independiente de las unidades escogidas (invariancia bajo cambio de escala). M\'as en general, la LNB se satisface cuando la mantisa de los logaritmos (en cualquier base) de los datos considerados est\'a distribuida uniformemente. Eso hace que listas tan poco relacionadas en principio con magnitudes f\'isicas como la de los n\'umeros de Fibonacci o las potencias de $2$ tambi\'en verifiquen la LNB. Adem\'as, si una lista inicial de datos no cumple la ley, la multiplicaci\'on iterada de los datos por una potencia irracional de $10$ lleva a que la distribuci\'on del primer d\'igito en las listas resultantes converja hacia la LNB. Esa propiedad de la LNB como atractor la hemos ilustrado en la Sec.\ \ref{sec4} mediante un modelo din\'amico simple que simula la evoluci\'on de un conjunto de datos cuando se multiplica por el factor $2$. Hasta los a\~nos $70$ del pasado siglo (que es cuando empezaron a usarse las calculadoras cient\'ificas de bolsillo) los f\'isicos utilizaban las tablas de logaritmos (o su aplicaci\'on en las reglas de c\'alculo) para peque\~nos c\'alculos cient\'ificos cotidianos, aunque si los c\'alculos eran m\'as complicados pod\'ian utilizar programas de ordenador en las computadoras de la \'epoca. En la actualidad, esos c\'alculos se realizan en calculadoras de bolsillo o en los ordenadores personales con la amplia variedad de programas matem\'aticos existentes. Como los datos que se manipulan en f\'isica est\'an extra\'idos de situaciones ``reales'', tales como experimentos, modelos, constantes f\'isicas, etc., podemos concluir, como homenaje a Newcomb y Benford, que la tecla del $1$ ser\'a la que presente un mayor desgaste y la del $9$ ser\'a la menos utilizada, respondiendo as\'i de forma afirmativa a la pregunta que se propone en el t\'itulo de este art\'iculo. %\bibliography{biblio_Benford} %merlin.mbs apsrev4-1.bst 2010-07-25 4.21a (PWD, AO, DPC) hacked %Control: key (0) %Control: author (0) dotless jnrlst %Control: editor formatted (1) identically to author %Control: production of article title (0) allowed %Control: page (1) range %Control: year (0) verbatim %Control: production of eprint (0) enabled \begin{thebibliography}{34}% \makeatletter \providecommand \@ifxundefined [1]{% \@ifx{#1\undefined} }% \providecommand \@ifnum [1]{% \ifnum #1\expandafter \@firstoftwo \else \expandafter \@secondoftwo \fi }% \providecommand \@ifx [1]{% \ifx #1\expandafter \@firstoftwo \else \expandafter \@secondoftwo \fi }% \providecommand \natexlab [1]{#1}% \providecommand \enquote [1]{``#1''}% \providecommand \bibnamefont [1]{#1}% \providecommand \bibfnamefont [1]{#1}% \providecommand \citenamefont [1]{#1}% \providecommand \href@noop [0]{\@secondoftwo}% \providecommand \href [0]{\begingroup \@sanitize@url \@href}% \providecommand \@href[1]{\@@startlink{#1}\@@href}% \providecommand \@@href[1]{\endgroup#1\@@endlink}% \providecommand \@sanitize@url [0]{\catcode `\\12\catcode `\$12\catcode `\&12\catcode `\#12\catcode `\^12\catcode `\_12\catcode `\%12\relax}% \providecommand \@@startlink[1]{}% \providecommand \@@endlink[0]{}% \providecommand \url [0]{\begingroup\@sanitize@url \@url }% \providecommand \@url [1]{\endgroup\@href {#1}{\urlprefix }}% \providecommand \urlprefix [0]{URL }% \providecommand \Eprint [0]{\href }% \providecommand \doibase [0]{http://dx.doi.org/}% \providecommand \selectlanguage [0]{\@gobble}% \providecommand \bibinfo [0]{\@secondoftwo}% \providecommand \bibfield [0]{\@secondoftwo}% \providecommand \translation [1]{[#1]}% \providecommand \BibitemOpen [0]{}% \providecommand \bibitemStop [0]{}% \providecommand \bibitemNoStop [0]{.\EOS\space}% \providecommand \EOS [0]{\spacefactor3000\relax}% \providecommand \BibitemShut [1]{\csname bibitem#1\endcsname}% \let\auto@bib@innerbib\@empty % \bibitem [{\citenamefont {Newcomb}(1881)}]{N81}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {S.}~\bibnamefont {Newcomb}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Note on the frecuency of use of the different digits in natural numbers},}\ }\href {\doibase 10.2307/2369148} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Am. 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Appl. Stat.}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {34}},\ \bibinfo {pages} {321--329} (\bibinfo {year} {2007})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Ausloos}\ \emph {et~al.}(2019)\citenamefont {Ausloos}, \citenamefont {Eskandary}, \citenamefont {Kaur},\ and\ \citenamefont {Dhesi}}]{AEKD19}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {M.}~\bibnamefont {Ausloos}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {A.}~\bibnamefont {Eskandary}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {P.}~\bibnamefont {Kaur}}, \ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {G.}~\bibnamefont {Dhesi}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Evidence for gross domestic product growth time delay dependence over foreign direct investment. {A} time-lag dependent correlation study},}\ }\href {\doibase 10.1016/j.physa.2019.121181} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {527}},\ \bibinfo {pages} {121181} (\bibinfo {year} {2019})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Hill}(1998)}]{H98}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {T.~P.}\ \bibnamefont {Hill}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {The first digit phenomenon: A century-old observation about an unexpected pattern in many numerical tables applies to the stock market, census statistics and accounting data},}\ }\href {http://www.jstor.org/stable/27857060} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Am. Sci.}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {86}},\ \bibinfo {pages} {358--363} (\bibinfo {year} {1998})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Pietronero}\ \emph {et~al.}(2001)\citenamefont {Pietronero}, \citenamefont {Tosatti}, \citenamefont {Tosatti},\ and\ \citenamefont {Vespignani}}]{PTTV01}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {L.}~\bibnamefont {Pietronero}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {E.}~\bibnamefont {Tosatti}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {V.}~\bibnamefont {Tosatti}}, \ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {A.}~\bibnamefont {Vespignani}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Explaining the uneven distribution of numbers in nature: the laws of {B}enford and {Z}ipf},}\ }\href {\doibase 10.1016/S0378-4371(00)00633-6} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {293}},\ \bibinfo {pages} {297--304} (\bibinfo {year} {2001})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Miranda-Zanetti}\ \emph {et~al.}(2019)\citenamefont {Miranda-Zanetti}, \citenamefont {Delbianco},\ and\ \citenamefont {Tohm\'e}}]{MZDT19}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {M.}~\bibnamefont {Miranda-Zanetti}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {F.}~\bibnamefont {Delbianco}}, \ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {F.}~\bibnamefont {Tohm\'e}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Tampering with inflation data: A {B}enford law-based analysis of national statistics in {A}rgentina},}\ }\href {\doibase 10.1016/j.physa.2019.04.042} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {525}},\ \bibinfo {pages} {761--770} (\bibinfo {year} {2019})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Dorogovtsev}\ \emph {et~al.}(2006)\citenamefont {Dorogovtsev}, \citenamefont {Mendes},\ and\ \citenamefont {Oliveira}}]{DMO06}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {S.~N.}\ \bibnamefont {Dorogovtsev}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {J.~F.~F.}\ \bibnamefont {Mendes}}, \ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {J.~G.}\ \bibnamefont {Oliveira}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Frequency of occurrence of numbers in the {W}orld {W}ide {W}eb},}\ }\href {\doibase 0.1016/j.physa.2005.06.064} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {360}},\ \bibinfo {pages} {548--556} (\bibinfo {year} {2006})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Mir}(2014)}]{M14}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {T.~A.}\ \bibnamefont {Mir}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {The {B}enford law behavior of the religious activity data},}\ }\href {\doibase 10.1016/j.physa.2014.03.074} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {408}},\ \bibinfo {pages} {1--9} (\bibinfo {year} {2014})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Ausloos}(2012)}]{A14}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {M.}~\bibnamefont {Ausloos}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Econophysics of a religious cult: {T}he {A}ntoinists in {B}elgium [1920-2000]},}\ }\href {\doibase 10.1016/j.physa.2012.01.006} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {391}},\ \bibinfo {pages} {3190--3197} (\bibinfo {year} {2012})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Ausloos}\ \emph {et~al.}(2015)\citenamefont {Ausloos}, \citenamefont {Herteliu},\ and\ \citenamefont {Ileanu}}]{AHI15}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {M.}~\bibnamefont {Ausloos}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {C.}~\bibnamefont {Herteliu}}, \ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {B.}~\bibnamefont {Ileanu}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Breakdown of {B}enford's law for birth data},}\ }\href {\doibase 10.1016/j.physa.2014.10.041} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {419}},\ \bibinfo {pages} {736--745} (\bibinfo {year} {2015})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Ausloos}\ \emph {et~al.}(2017)\citenamefont {Ausloos}, \citenamefont {Cerqueti},\ and\ \citenamefont {Lupi}}]{ACL17}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {M.}~\bibnamefont {Ausloos}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {R.}~\bibnamefont {Cerqueti}}, \ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {C.}~\bibnamefont {Lupi}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Long-range properties and data validity for hydrogeological time series: The case of the {P}aglia river},}\ }\href {\doibase 10.1016/j.physa.2016.11.137} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {470}},\ \bibinfo {pages} {39--50} (\bibinfo {year} {2017})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Lee}\ \emph {et~al.}(2020)\citenamefont {Lee}, \citenamefont {Han},\ and\ \citenamefont {Jeong}}]{LHJ20}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {K.-B.}\ \bibnamefont {Lee}}, \bibinfo {author} {\bibfnamefont {S.}~\bibnamefont {Han}}, \ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {Y.}~\bibnamefont {Jeong}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {Covid-19, flattening the curve, and {B}enford's law},}\ }\href {\doibase 10.1016/j.physa.2020.125090} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Physica A}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {559}},\ \bibinfo {pages} {125090} (\bibinfo {year} {2020})}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{tes()}]{testingBL}% \BibitemOpen \href@noop {} {\enquote {\bibinfo {title} {Testing {B}enford's law},}\ }\bibinfo {howpublished} {\url{https://testingbenfordslaw.com}}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {{Instituto Nacional de Estad\'istica}}()}]{INE}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibnamefont {{Instituto Nacional de Estad\'istica}}},\ }\href@noop {} {}\bibinfo {howpublished} {\url{https://www.ine.es/index.htm}}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{Hip({\natexlab{a}})}]{Hipparcos}% \BibitemOpen \href@noop {} {\enquote {\bibinfo {title} {The brightest stars},}\ }\bibinfo {howpublished} {\url{http://www.atlasoftheuniverse.com/stars.html}} \BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{sun()}]{sunspot}% \BibitemOpen \href@noop {} {\enquote {\bibinfo {title} {Sunspot number},}\ }\bibinfo {howpublished} {\url{http://sidc.be/silso/datafiles}}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{Cor()}]{Cortefiel}% \BibitemOpen \href@noop {} {}\bibinfo {howpublished} {\url{https://cortefiel.com/es/es/mujer?srule=price-high-to-low&}}\BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{Hip({\natexlab{b}})}]{Hipercor}% \BibitemOpen \href@noop {} {}\bibinfo {howpublished} {\url{https://www.hipercor.es/supermercado/alimentacion/}} \BibitemShut {NoStop}% \bibitem [{\citenamefont {Kullback}\ and\ \citenamefont {Leibler}(1951)}]{KL51}% \BibitemOpen \bibfield {author} {\bibinfo {author} {\bibfnamefont {S.}~\bibnamefont {Kullback}}\ and\ \bibinfo {author} {\bibfnamefont {R.~A.}\ \bibnamefont {Leibler}},\ }\bibfield {title} {\enquote {\bibinfo {title} {On information and sufficiency},}\ }\href {\doibase 10.1214/aoms/1177729694} {\bibfield {journal} {\bibinfo {journal} {Ann. Math. Statist.}\ }\textbf {\bibinfo {volume} {22}},\ \bibinfo {pages} {79--86} (\bibinfo {year} {1951})}\BibitemShut {NoStop}% \end{thebibliography}% \end{document}